Question

6．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，∠BAC=$\frac{π}{3}$，BB₁-=3，則側棱BB₁所在直線與平面AB₁C₁所成的角為（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用體積法求出B到平面AB₁C₁的距離h，則側棱BB₁所在直線與平面AB₁C₁所成的角正弦值等于$\frac{h}{B{B}_{1}}$，從而得出線面角的大小．

解答 解：∵AB=AC=2，∠BAC=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等邊三角形，
∵BB₁=3，∴AB₁=AC₁=$\sqrt{13}$，B₁C₁=2，
∴cos∠B₁AC₁=$\frac{13+13-4}{2•\sqrt{13}•\sqrt{13}}$=$\frac{11}{13}$，∴sin∠B₁AC₁=$\frac{4\sqrt{3}}{13}$，
∴S${\;}_{△A{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\sqrt{13}×\frac{4\sqrt{3}}{13}$=2$\sqrt{3}$，
設B到平面AB₁C₁的距離為h，則V${\;}_{B-A{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×h$=$\frac{2\sqrt{3}h}{3}$，
過C₁作C₁D⊥A₁B₁，則C₁D⊥平面ABB₁A₁，
∴V${\;}_{{C}_{1}-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
又V${\;}_{B-A{B}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-AB{B}_{1}}$，即$\frac{2\sqrt{3}h}{3}=\sqrt{3}$，∴h=$\frac{3}{2}$，
設側棱BB₁所在直線與平面AB₁C₁所成的角為α，則sinα=$\frac{h}{B{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{6}$．
故選D．

點評 本題考查了棱柱的結構特征，線面角的計算，屬于中檔題．