Question

6．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數）．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C向左平移一個單位，再經過伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$得到曲線C'，設M（x，y）為曲線C'上任一點，求$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$的最小值，并求相應點M的直角坐標．

Answer 1

分析 （I）由 $\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=1，再利用互化公式可得曲線C的極坐標方程．
（Ⅱ）（x-1）²+y²=1，向左平移一個單位再經過伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$，得到曲線C'的直角坐標方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設M（2cosα，sinα），代入$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$化簡，利用三角函數的單調性即可得出．

解答 解：（I）由 $\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數）得曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=1
得曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ．…（4分）
（Ⅱ）（x-1）²+y²=1，向左平移一個單位再經過伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=2x}\\{y'=y}\end{array}}\right.$，
得到曲線C'的直角坐標方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設M（2cosα，sinα），
則$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}={cos^2}α-2\sqrt{3}sinacosα-{sin^2}a$=$cos2a-\sqrt{3}sin2α=2cos（2α+\frac{π}{3}）$…（7分）
當$α=kπ+\frac{π}{3}$（k∈Z）時，$\frac{x^2}{4}-\sqrt{3}xy-{y^2}$的最小值為-2，
此時點M的坐標為$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$或$（-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．…（10分）

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、直角坐標方程化為極坐標方程、橢圓參數方程的應用、倍角公式、和差公式、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．