Question

3．在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（ϕ為參數）．以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立坐標系．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）設直線l的極坐標方程是$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}$，射線$\sqrt{3}$x-y=0（x≥0）與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）因為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}\right.$，利用平方關系消參得：（x-1）²+y²=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得圓C的極坐標方程．
（2）射線$\sqrt{3}x-y=0（x≥0）$的極坐標方程是$θ=\frac{π}{3}$，設點P（ρ₁，θ₁），則：$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=2cos{θ_1}\\{θ_1}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，解得ρ₁，θ₁．設點Q（ρ₂，θ₂），則：$\left\{\begin{array}{l}2{ρ_2}（sin{θ_2}+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}\\{θ_2}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，解得ρ₂，θ₂，根據θ₁=θ₂，可得|PQ|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（1）因為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}\right.$，消參得：（x-1）²+y²=1，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得（ρcosθ-1）²+（ρsinθ）²=1，所以圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ；
（2）射線$\sqrt{3}x-y=0（x≥0）$的極坐標方程是$θ=\frac{π}{3}$，設點P（ρ₁，θ₁），則有：$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=2cos{θ_1}\\{θ_1}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=1\\{θ_1}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，
設點Q（ρ₂，θ₂），則：$\left\{\begin{array}{l}2{ρ_2}（sin{θ_2}+\frac{π}{3}）=3\sqrt{3}\\{θ_2}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ρ_2}=3\\{θ_2}=\frac{π}{3}\end{array}\right.$，
由于θ₁=θ₂，所以|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2，所以線段PQ的長為2．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、直角坐標方程化為極坐標方程、曲線的交點、極坐標方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．