Question

11．已知直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為$ρ=4sin（θ-\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點為P（x，y）為直線l與圓C所截得的弦上的動點，求$\sqrt{3}x+y$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把圓C的極坐標方程轉化為${ρ^2}=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，由此能求出圓C的普通方程．
（Ⅱ）求出圓C的圓心是$（-1，\sqrt{3}）$，半徑是2，將$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\sqrt{3}x+y$得$\sqrt{3}x+y=-t$，由此能求出$\sqrt{3}x+y$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為圓C的極坐標方程為$ρ=4sin（θ-\frac{π}{6}）$，
所以${ρ^2}=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，
所以圓C的普通方程${x^2}+{y^2}+2x-2\sqrt{3}y=0$．…（4分）
（Ⅱ）由圓C的方程${x^2}+{y^2}+2x-2\sqrt{3}y=0$，可得${（x+1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$，
所以圓C的圓心是$（-1，\sqrt{3}）$，半徑是2，
將$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\sqrt{3}x+y$得$\sqrt{3}x+y=-t$，
又直線l過$C（-1，\sqrt{3}）$，圓C的半徑是2，所以-2≤t≤2，
即$\sqrt{3}x+y$的取值范圍是[-2，2]．     …（10分）

點評 本題考查圓的直角坐標方程的求法，考查代數式的取值范圍的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．