Question

10．在直角坐標系x0y中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，曲線C的極坐標方程為$ρ=\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．
（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）過點P（0，2）作斜率為1的直線l與曲線C交于A，B兩點，
①求線段AB的長；  
②$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為$ρ=\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．化為ρ²（1-sin²θ）=ρsinθ，即ρ²cos²θ=ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）①由題意可得直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．代入拋物線方程可得：t²-$\sqrt{2}$t-4=0，利用根與系數的關系可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．
②$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為$ρ=\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．化為ρ²（1-sin²θ）=ρsinθ，即ρ²cos²θ=ρsinθ，
利用互化公式可得直角坐標方程：y=x²．
（2）①由題意可得直線l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
代入拋物線方程可得：t²-$\sqrt{2}$t-4=0，
∴t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-4，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-4×（-4）}$=$3\sqrt{2}$．
②$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數方程及其應用、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．