Question

3．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t是參數），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ+4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）判斷曲線C₁與曲線C₂是否相交，若相交，求出交點A，B間的距離，若不想交，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ=2sinθ+4cosθ，得ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，把互化公式代入即可得出直角坐標方程．
（Ⅱ）曲線C₁是過定點（1，1）的一條直線，由于（1-2）²+（1-1）²＜5，可得點（1，1）在曲線C₂的內部，因此直線C₁與曲線C₂一定相交．把直線參數方程代入圓的方程可得：t²-t-4=0，利用根與系數的關系、弦長關系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ+4cosθ，得ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x²+y²=2y+4x，即（x-2）²+（y-1）²=5．
（Ⅱ）曲線C₁是過定點（1，1）的一條直線，
∵（1-2）²+（1-1）²＜5，∴點（1，1）在曲線C₂內部，
∴直線C₁與曲線C₂一定相交．
將$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t是參數）代入（x-2）²+（y-1）²=5，得t²-t-4=0．
∴t₁+t₂=1，t₁t₂=-4，
∴$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{1^2}+16}=\sqrt{17}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數方程及其應用、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．