Question

18．設公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₂，a₅，a₁₁成等比數列，且a₁₁=2（S_m-S_n）（m＞n＞0，m，n∈N*），則m+n的值是9．

Answer 1

分析 設公差d不為0的等差數列{a_n}，運用等比數列中項的性質，化簡可得a₁=2d，再由等差數列的求和公式，化簡可得（m-n）（m+n+3）=12，通過m＞n，且m，n為自然數，列舉判斷即可得到所求和．

解答 解：設公差d不為0的等差數列{a_n}，
a₂，a₅，a₁₁成等比數列，
可得a₅²=a₂a₁₁，
即為（a₁+4d）²=（a₁+d）（a₁+10d），
化簡可得a₁=2d，
a₁₁=2（S_m-S_n），
即有12d=2[ma₁+$\frac{m（m-1）}{2}$d-na₁-$\frac{n（n-1）}{2}$d]，
12d=4md-4nd+d（m²-m-n²+n），
即有（m-n）（m+n+3）=12，
由于m＞n＞0，m，n∈N*，
可得m+n+3≥6，m-n≤2，
若m=2，3，n=1則方程不成立；
若m=3，4，n=2，則方程不成立；
若m=4，5，n=3，則方程不成立；
若m=5，n=4，則方程成立；
m=6，n=4則方程不成立．
故m+n=5+4=9．
故答案為：9．

點評 本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，考查分類討論的思想方法，以及分解因式的方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．