Question

6．已知⊙O：x²+y²=1與x軸的兩個交點為F₁，F₂，經過F₁的光線經過直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）反射后經過F₂，且經過F₁的光線與l的交點為E，則以F₁，F₂為焦點，且經過點E的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1．

Answer 1

分析 根據題意，求出，⊙O：x²+y²=1與x軸的兩個交點，可以設出F₁、F₂的坐標，同時設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，再依據題意設點P與F₁關于直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）對稱，且P的坐標為（m，n），分析可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+1}=-\sqrt{3}}\\{\frac{n}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（\frac{m-1}{2}+4）}\end{array}\right.$，解可得m、n的值，即可得P的坐標，結合光學知識由橢圓的定義結合光學知識分析可得2a=|EF₁|+|EF₂|=|EP|+|EF₂|=|PF₂|，有P、F₂的坐標計算可得a的值，由橢圓的幾何性質可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程即可得答案．

解答 解：根據題意，⊙O：x²+y²=1與x軸的兩個交點為（-1，0），（1，0），
設F₁（-1，0），F₂（1，0），
要求橢圓的焦點為F₁、F₂，設其方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
設點P與F₁關于直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）對稱，且P的坐標為（m，n），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+1}=-\sqrt{3}}\\{\frac{n}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（\frac{m-1}{2}+4）}\end{array}\right.$，
解可得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
即P的坐標為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
橢圓經過點E，則有2a=|EF₁|+|EF₂|，
又由點P與F₁關于直線l對稱，且經過F₁的光線與l的交點為E，則|EP|=|EF₁|，
則2a=|EF₁|+|EF₂|=|EP|+|EF₂|=|PF₂|=$\sqrt{（1+\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
則a=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
又橢圓的半焦距c=1，則b²=a²-c²=$\frac{19}{4}$-1=$\frac{15}{4}$；
則橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1．

點評 本題考查橢圓的定義、標準方程，涉及直線間的位置關系，注意利用點關于直線對稱的性質進行分析．