Question

7．已知{a_n}，{b_n}是公差分別為d₁，d₂的等差數列，且A_n=a_n+b_n，B_n=a_nb_n．若A₁=1，A₂=3，則A_n=2n-1；若{B_n}為等差數列，則d₁d₂=0．

Answer 1

分析 由{a_n}，{b_n}是公差分別為d₁，d₂的等差數列，且A_n=a_n+b_n，得數列{A_n}是等差數列，再由已知求其公差，代入等差數列的通項公式可得A_n；利用等差數列的定義可得d₁d₂=0．

解答 解：∵{a_n}，{b_n}是公差分別為d₁，d₂的等差數列，且A_n=a_n+b_n，
∴數列{A_n}是等差數列，又A₁=1，A₂=3，
∴數列{A_n}的公差d=A₂-A₁=2．
則A_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵B_n=a_nb_n，且{B_n}為等差數列，
∴B_n+1-B_n=a_n+1b_n+1-a_nb_n =（a_n+d₁）（b_n+d₂）-a_nb_n
=a_nd₂+b_nd₁+d₁d₂=[a₁+（n-1）d₁]d₂+[b₁+（n-1）d₂]d₁+d₁d₂
=a₁d₂+b₁d₁-d₁d₂+2d₁d₂n為常數．
∴d₁d₂=0．
故答案為：2n-1；0．

點評 本題考查等差數列和等比數列的性質，考查了等差數列的通項公式，是中檔題．