Question

19．在極坐標系中，曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系xOy，曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）C與C₁，C₂交于不同四點，這四點在C上的排列順序為P，Q，R，S，求||PQ|-|RS||的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標方程．曲線${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角標準方程．
（II）設四點在C上的排列順次為P，Q，R，S，其參數分別為t₁，t₂，t₃，t₄．曲線C的參數方程代入拋物線方程可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄．曲線C的參數方程代入圓的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃．∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C₁的直角坐標方程為：x²+y²-2x=0，
∵曲線${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲線C₂的直角坐標方程為：y²=4x．
（Ⅱ）設四點在C上的排列順序為P，Q，R，S，其參數分別為t₁，t₂，t₃，t₄．
曲線C的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數）代入拋物線方程y²=4x，
可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄=$\frac{8}{3}$．
曲線C的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數）代入圓的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃=-1．
∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|=|1+$\frac{8}{3}$|=$\frac{11}{3}$．
故答案為：$\frac{11}{3}$．

點評 本題考查曲線與坐標軸的交點坐標的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．