Question

3．已知函數f（x）=e^x-mx²-2x
（1）若m=0，討論f（x）的單調性；
（2）若$m＜\frac{e}{2}-1$，證明：當x∈[0，+∞）時，$f（x）＞\frac{e}{2}-1$．

Answer 1

分析 （1）當m=0時，f（x）=e^x-2x．f'（x）=e^x-2，根據導數的符號確定單調性；
（2）由f'（x）=e^x-2mx-2，$f''（x）={e^x}-2m＞{e^x}-2•\frac{e-2}{2}={e^x}-（e-2）$．可證得f'（x）單調遞增．
又$f'（0）=1-2=-1＜0，f'（1）=e-2m-2＞e-2×（{\frac{e}{2}-1}）-2=0$，即存在唯一的x₀∈（0，1），使得f'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-2m{x_0}-2=0$，得$f{（x）_{min}}={e^{x_0}}-\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}x_0^2-2{x_0}={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}{e^{x_0}}-{x_0}$．利用導數可得$g（x）＞g（1）=\frac{e}{2}-1$，即可得證．

解答 解：（1）當m=0時，f（x）=e^x-2x．f'（x）=e^x-2，令f'（x）＞0，得x＞ln2．
易知f（x）在（-∞，ln2）上單調遞減，f（x）在（ln2，+∞）上單調遞增．
（2）證明：f'（x）=e^x-2mx-2，$f''（x）={e^x}-2m＞{e^x}-2•\frac{e-2}{2}={e^x}-（e-2）$．
當x∈[0，+∞）時，e^x≥1＞e-2，故f''（x）＞0，故f'（x）單調遞增．
又$f'（0）=1-2=-1＜0，f'（1）=e-2m-2＞e-2×（{\frac{e}{2}-1}）-2=0$，
故存在唯一的x₀∈（0，1），使得f'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-2m{x_0}-2=0$，
且當x∈（0，x₀）時，f'（x）＜0，故f（x）單調遞減，
當x∈（x₀，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）單調遞增．
故$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-mx_0^2-2{x_0}$．
因為x=x₀是方程${e^{x_0}}-2m{x_0}-2=0$的根，故$m=\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}$．
故$f{（x）_{min}}={e^{x_0}}-\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}x_0^2-2{x_0}={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}{e^{x_0}}-{x_0}$．
令$g（x）={e^x}-\frac{1}{2}x{e^x}-x，x∈（0，\;1）$，$g'（x）=\frac{1}{2}{e^x}-\frac{1}{2}x{e^x}-1$，$g''（x）=-\frac{1}{2}x{e^x}＜0$．
故g'（x）在（0，1）上單調遞減，故$g'（x）＜g'（0）=-\frac{1}{2}＜0$，
故g（x）在（0，1）上單調遞減，
∴$g（x）＞g（1）=\frac{e}{2}-1$，故$f（x）＞\frac{e}{2}-1$．

點評 本題考查了導數的綜合應用，考查了函數的單調性、最值問題，轉化思想，屬于難題．