Question

2．已知球O是某幾何體的外接球，而該幾何體是由一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$的正四棱錐S-ABCD與一個(gè)高為6的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁拼接而成，則球O的表面積為（　�。�

• A． $\frac{100π}{3}$
• B． 64π
• C． 100π
• D． $\frac{500π}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為R，AB=2x，S到平面ABCD的距離為$\sqrt{20-2{x}^{2}}$，列出半徑的表達(dá)式，由勾股定理可得R²=3²+2x²，由此求出R，即可求出球的表面積．

解答 解：設(shè)球的半徑為R，AB=2x，$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{2}x$，
則球心到平面A₁B₁C₁D₁的距離為3，
幾何體是由一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$的正四棱錐S-ABCD
S到平面ABCD的距離為$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}x）^{2}}$=$\sqrt{20-2{x}^{2}}$，
則：$\sqrt{20-2{x}^{2}}$+3=R，
又勾股定理可得R²=3²+2x²，
∴R=5，x=2$\sqrt{2}$
∴球的表面積為4πR²=100π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出球的半徑是關(guān)鍵．