Question

12．在極坐標系中，曲線C₁：ρsin²θ=4cosθ．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系xOy，曲線C₂的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]），曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+\frac{1}{2}t}\\{y={y}_{0}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）C與C₁相交于A，B，與C₂相切于點Q，求|AQ|-|BQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C₁的直角坐標方程．
（Ⅱ）設Q（cosθ，sinθ），（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]），由題意知直線C的斜率k=$\sqrt{3}$，從而$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進而Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．設A，B對應的參數分別為t₁，t₂．把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入y²=4x，得3t²-（8+2$\sqrt{3}$）t-8$\sqrt{3}+1$=0，由此利用韋達定理能求出|AQ|-|BQ|．

解答 解：（Ⅰ）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
由ρsin²θ=4cosθ，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲線C₁的直角坐標方程為：y²=4x．
（Ⅱ）設Q（cosθ，sinθ），（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]），由題意知直線C的斜率k=$\sqrt{3}$，
所以${k}_{OQ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$θ=-\frac{π}{6}$，故Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
取${x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，${y}_{0}=-\frac{1}{2}$，不妨設A，B對應的參數分別為t₁，t₂．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入y²=4x，
化簡得$\frac{3{t}^{2}}{4}=4（2+\frac{t}{2}）$，即3t²-（8+2$\sqrt{3}$）t-8$\sqrt{3}+1$=0，
∵C與C₁相交于A，B，∴△＞0，t₁+t₂=$\frac{8+2\sqrt{3}}{3}$．
∴|AQ|-|BQ|=|t₁+t₂|=$\frac{8+2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查曲線的直角坐標的求法，考查兩線段之差的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．