Question

20．將圓x²+y²-2x=0向左平移一個單位長度，再把所得曲線上每一點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的$\sqrt{3}$倍得到曲線C．
（1）寫出曲線C的參數方程；
（2）以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，若A，B分別為曲線C及直線l上的動點，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）將圓方程轉化成標準方程，根據坐標變換，即可求得曲線C的方程，即可求得參數方程；
（2）由直線l的極坐標方程求得直角坐標方程，利用點到直線的距離公式，輔助角公式及正弦函數的性質，即可求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）圓x²+y²-2x=0的標準方程為（x-1）²+y²=1，向左平移一個單位后，所得曲線的方程為x²+y²=1，（2分）
把曲線x²+y²=1上每一點的橫坐標變為原來的$\sqrt{3}$倍（縱坐標不變），得到曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
故曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數）．---------------------（5分）
（2）由ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，得ρcos θ+ρsin θ=3，
由x=ρcos θ，y=ρsin θ，可得直線l的直角坐標方程為x+y-3=0，-------------（7分）
所以曲線C上的點到直線l的距離d=$\frac{丨\sqrt{3}cosα+sinα-3丨}{\sqrt{2}}$═$\frac{丨2sin（α+\frac{π}{3}）-3丨}{\sqrt{2}}$≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以丨AB丨≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即當α=$\frac{π}{6}$時，丨AB丨取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．--------------------------（10分）

點評 本題考查圓的極坐標方程，橢圓的參數方程，點到直線的距離公式，輔助角公式及正弦函數的性質，考查計算能力，屬于中檔題．