Question

6．（Ⅰ）求函數f（x）=$\frac{|3x+2|-|1-2x|}{|x+3|}$的最大值M．
（Ⅱ）是否存在滿足a²+b²≤c≤M的實數a，b，c使得2（a+b+c）+1≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=$\frac{|3x+2|-|1-2x|}{|x+3|}$≤$\frac{|3x+2+1-2x|}{|x+3|}$=1即可，
（Ⅱ）由2（a+b+c）+1≥2（a+b+a²+b²）+1≥2[a+b+$\frac{（a+b）^{2}}{2}$]+1=（a+b+1）²≥0，即可判定．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{|3x+2|-|1-2x|}{|x+3|}$≤$\frac{|3x+2+1-2x|}{|x+3|}$=1，
當且僅當x$≤-\frac{2}{3}$或x$≥\frac{1}{2}$時，等號成立，∴最大值M=1．
（Ⅱ）2（a+b+c）+1≥2（a+b+a²+b²）+1≥2[a+b+$\frac{（a+b）^{2}}{2}$]+1=（a+b+1）²≥0，
當且僅當a=b=-$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}$時取等，
所以存在滿足a²+b²≤c≤M的實數a，b，c使得2（a+b+c）+1≥0．

點評 本題考查了絕對值不等式的性質，基本不等式的應用，屬于中檔題．