Question

1．某校舉行高二理科學生的數(shù)學與物理競賽，并從中抽取72名學生進行成績分析，所得學生的及格情況統(tǒng)計如表：

	物理及格	物理不及格	合計
數(shù)學及格	28	8	36
數(shù)學不及格	16	20	36
合計	44	28	72

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否是99%的把握認為“數(shù)學及格與物理及格有關”；
（2）若以抽取樣本的頻率為概率，現(xiàn)在該校高二理科學生中，從數(shù)學及格的學生中隨機抽取3人，記X為這3人中物理不及格的人數(shù)，從數(shù)學不及格學生中隨機抽取2人，記Y為這2人中物理不及格的人數(shù)，記ξ=|X-Y|，求ξ的分布列及數(shù)學期望．
附：x²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{21}{n}_{12}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$．

P（X2≥k）	0.150	0.100	0.050	0.010
k	2.072	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出X²=$\frac{1800}{143}$≈12.587＞6.635，從而有99%的把握認為“數(shù)學及格與物理及格有關”．
（2）從數(shù)學及格的學生任抽取一人，抽到物理不及格的學生的頻率為$\frac{9}{36}$=$\frac{1}{4}$，從數(shù)學不及格的學生任取一人，抽到物理不及格的學生的頻率為$\frac{24}{36}$=$\frac{2}{3}$，X可能的取值為0，1，2，3，Y可能的取值為0，1，2，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得：
${x}^{2}=\frac{72（27×24-12×9）^{2}}{39×33×36×36}$=$\frac{1800}{143}$≈12.587，
∵12.587＞6.635，
∴有99%的把握認為“數(shù)學及格與物理及格有關”．
（2）從數(shù)學及格的學生任抽取一人，抽到物理不及格的學生的頻率為$\frac{9}{36}$=$\frac{1}{4}$，
從數(shù)學不及格的學生任取一人，抽到物理不及格的學生的頻率為$\frac{24}{36}$=$\frac{2}{3}$，
X可能的取值為0，1，2，3，Y可能的取值為0，1，2，
ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=P（X=0）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=2）
=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}$•${C}_{2}^{0}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}•{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）•{C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{19}{64}$，
P（ξ=1）=P（X=0）P（Y=1）+P（X=1）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=1）+P（X=3）P（Y=2）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}•{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}•{C}_{2}^{0}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$•${C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$
+${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}•{C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{283}{576}$，
P（ξ=2）=P（X=0）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=0）+P（X=3）P（Y=1）
=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}{C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）{C}_{2}^{0}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$=$\frac{121}{576}$，
P（ξ=3）=P（X=3）P（Y=0）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{576}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{19}{64}$	$\frac{283}{576}$	$\frac{121}{576}$	$\frac{1}{576}$

Eξ=$0×\frac{19}{576}+1×\frac{283}{576}+2×\frac{121}{576}$+3×$\frac{1}{576}$=$\frac{11}{12}$．

點評 本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方思想，是中檔題．