Question

16．在公差不為0的等差數列{a_n}中，a₂²=a₃+a₆，且a₃為a₁與a₁₁的等比中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=（-1）ⁿ$\frac{n}{（{a}_{n}-\frac{1}{2}）（{a}_{n+1}-\frac{1}{2}）}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用等差數列的通項公式和等比數列中項的性質，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；
（Ⅱ）化簡b_n=（-1）ⁿ$\frac{n}{（3n-\frac{3}{2}）（3n+\frac{3}{2}）}$=$\frac{1}{9}$•（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），再由數列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）在公差d不為0的等差數列{a_n}中，a₂²=a₃+a₆，
且a₃為a₁與a₁₁的等比中項．
可得（a₁+d）²=2a₁+7d，且a₃²=a₁a₁₁，即（a₁+2d）²=a₁（a₁+10d），
解得a₁=2，d=3，
則a_n=2+3（n-1）=3n-1，n∈N*；
（Ⅱ）b_n=（-1）ⁿ$\frac{n}{（{a}_{n}-\frac{1}{2}）（{a}_{n+1}-\frac{1}{2}）}$=（-1）ⁿ$\frac{n}{（3n-\frac{3}{2}）（3n+\frac{3}{2}）}$
=$\frac{1}{9}$•（-1）ⁿ•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{9}$•（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{9}$[-（$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）-（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{1}{9}$[-1+（-1）ⁿ•$\frac{1}{2n+1}$）]．

點評 本題考查等差數列的通項公式的求法，注意運用方程思想，考查數列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．