Question

20．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+alnx（a＞0）有兩個極值點x₁、x₂，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：f（x₁）+f（x₂）＞$\frac{-3-2ln2}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，結合二次函數的性質求出a的范圍即可；
（2）依題意得f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，即x²-x+a=0有兩個不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，
可得x₁+x₂=1，x₁•x₂=a，由（1）得a∈（0，$\frac{1}{4}$）．f（x₁）+f（x₂）=）=$\frac{1}{2}$x₁²-x₁+alnx₁=$\frac{1}{2}$x₂²-x₂+alnx₂=$\frac{1}{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{2}{x}_{1}]-（{x}_{1}+{x}_{2}）+a（$lnx₁+lnx₂）=alnaa-a-$\frac{1}{2}$，令g（a）=alna-a-$\frac{1}{2}$，a∈（0，$\frac{1}{4}$）．利用導數求解．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+alnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-1+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-x+a}{x}$，
當△=1-4a≤0，即a≥$\frac{1}{4}$時，f′（x）≥0恒成立，此時函數f（x）單調遞增，無極值；
當當△=1-4a＞0，即a＜$\frac{1}{4}$時，∴f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，此時函數有兩個極值．
綜上，a的取值范圍（0，$\frac{1}{4}$）．
（2）證明：∵f（x）有兩個極值點x₁，x₂且x₁＜x₂，∴f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x²-x+a=0有兩個不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=a，由（1）得a∈（0，$\frac{1}{4}$）．
f（x₁）+f（x₂）=）=$\frac{1}{2}$x₁²-x₁+alnx₁=$\frac{1}{2}$x₂²-x₂+alnx₂
=$\frac{1}{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{2}{x}_{1}]-（{x}_{1}+{x}_{2}）+a（$lnx₁+lnx₂）=alnaa-a-$\frac{1}{2}$，
令g（a）=alna-a-$\frac{1}{2}$，a∈（0，$\frac{1}{4}$）．g′（a）=lna，在a∈（0，$\frac{1}{4}$）時．g′（a）＜0恒成立．
∴g（a）在（0，$\frac{1}{4}$）單調遞減，故g（a）$＞g（\frac{1}{4}）$=$\frac{-3-2ln2}{4}$．
∴f（x₁）+f（x₂）＞$\frac{-3-2ln2}{4}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查不等式的證明，分類討論思想，屬于中檔題．