Question

6．設$f（x）=\frac{（4x+a）lnx}{3x+1}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導，由題意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；
（2）由題意可知：4lnx≤m（3x-$\frac{1}{x}$-2）恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，分類討論即可求出m的取值范圍

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（\frac{4x+a}{x}+4lnx）（3x+1）-3（4x+a）lnx}{（3x+1）^{2}}$
由題設f′（1）=1，
∴$\frac{4+a}{4}=1$，
∴a=0．
（2）$f（x）=\frac{4xlnx}{3x+1}$，?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1），即4lnx≤m（3x-$\frac{1}{x}$-2）
設g（x）=4lnx-m（3x-$\frac{1}{x}$-2），即?x∈[1，|+∞），g（x）≤0，
∴g′（x）=$\frac{4}{x}$-m（3+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-3m{x}^{2}+4x-m}{{x}^{2}}$，g′（1）=4-4m
①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾
②若m∈（0，1），當x∈（1，$\frac{2+\sqrt{4-3{m}^{2}}}{3m}$），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=0，與題設矛盾．
③若m≥1，當x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立
綜上所述，m≥1．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，導數(shù)的幾何意義，考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和最值的關系，考查計算能力，屬于中檔題．