Question

14．已知函數f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1
（I）當m=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）若m∈Z，關于x的不等式f（x）≤0恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當m=1時，$f′（x）=\frac{1}{x}-2x-1$，故切線的斜率k=f′（1）=-2，切點為（1，-1），即2x+y-1=0為所求．
（Ⅱ）$f′（x）=\frac{1}{x}-2mx+1-2m$=$\frac{-（2mx-1）（x+1）}{x}$，分m≤0，m＞0，求出f（x）的最大值為f（$\frac{1}{2m}$）≤0，即4mln2m≥1，可得整數m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當m=1時，$f′（x）=\frac{1}{x}-2x-1$，故切線的斜率k=f′（1）=-2
切點為（1，-1），曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0為所求．
（Ⅱ）∵f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1（x＞0），
$f′（x）=\frac{1}{x}-2mx+1-2m$=$\frac{-（2mx-1）（x+1）}{x}$
當m≤0時，f'（x）＞0恒成立，f（x）單調遞增，無最大值，∴f（x）≤0不恒成立，
當m＞0時，∴x∈（0，$\frac{1}{2m}$）時，f'（x）＞0；∈（$\frac{1}{2m}$，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在區間（0，$\frac{1}{2m}$）上單調遞增區間（$\frac{1}{2m}$，+∞）上單調遞減，
f（x）的最大值為f（$\frac{1}{2m}$）≤0，即4mln2m≥1，
∵m∈Z，∴顯然，m=1時，4ln2≥1成立，
∴m的最小值為1．

點評 本題考查了利用導函數求函數的單調性和導數的幾何意義，對恒成立問題的轉化和對參數的分類討論．屬于中檔題．