Question

18．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y-5≤0\\ 2x-y-1≥0\\ x-2y+1≤0\end{array}\right.$，等差數列{a_n}滿足a₁=x，a₅=y，其前n項為S_n，則S₅-S₂的最大值為$\frac{35}{4}$．

Answer 1

分析 先根據等差數列的性質和求和公式可得z=S₅-S₂=$\frac{11}{4}$x+$\frac{y}{4}$，畫出約束條件時可行域，求出z的最大值即可

解答 解：等差數列{a_n}滿足a₁=x，a₅=y，
∴d=$\frac{y-x}{4}$，
∴設z=S₅-S₂=5a₁+10d-2a₁-d=3a₁+9d=3x+$\frac{y-x}{4}$=$\frac{11}{4}$x+$\frac{y}{4}$，
則y=-11x+$\frac{z}{4}$，
平移目標函數，當過點A時，在y軸的截距最大，此時z最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-5=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$解得x=3，y=2，即A（3，2），
∴z=$\frac{33}{4}$+$\frac{2}{4}$=$\frac{35}{4}$，
故答案為：$\frac{35}{4}$

點評 本題考查了等差數列的求和公式和線性規劃在求解目標函數中的最值中的應用，屬于中檔題