Question

6．已知a，b＞0，且a+b=1，求證：$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}≤\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 采用兩邊平方后，利用基本不等式即可證明．

解答 證明：∵a+b=1，
由$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}$≤$\sqrt{6}$
可得：a+1+b+1+2$\sqrt{（a+1）（b+1）}$≤6，
∴2$\sqrt{（a+1）（b+1）}$≤3
由不等式的性質可得：2$\sqrt{（a+1）（b+1）}$≤a+1+b+1=3，當且僅當a=b時取等號．
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}≤\sqrt{6}$．

點評 本題考查了基本不等式的運用和證明，屬于基礎題．