Question

10．已知定義在R上的奇函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，當-1≤x＜0時，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），則方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0在（0，6）內的所有根之和為12．

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性和對稱性推導出f（x）是以4為周期的周期函數，由當-1≤x＜0時，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），作出f（x）在（0，6）內的圖象，數形結合能求出方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0在（0，6）內的所有根之和．

解答 解：∵定義在R上的奇函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=f（2-x）=-f（-x），
即f（x）=-f（x+2）=f（x+4），
∴f（x）是以4為周期的周期函數，
∵當-1≤x＜0時，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），
∴f（x）在（0，6）內的圖象如右圖：
由方程f（x）-$\frac{1}{2}$=0得f（x）=$\frac{1}{2}$，
作出函數y=$\frac{1}{2}$的圖象如圖：
則兩個函數有4個交點，對應交點的橫坐標分別關于x=1和x=5對稱，
則在（0，6）內的零點之和為：
x₁+x₂+x₃+x₄=2+10=12．
故答案為：12

點評 本題主要考查方程根的個數的判斷，結合函數奇偶性和對稱性求出函數的周期性，以及利用數形結合是解決本題的關鍵．注意函數性質和數形結合思想的合理運用．