Question

20．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，a_n²=4S_n-1+4n（n≥2）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求a₂+a₅+a₈+…+a₈₉的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據數列遞推公式可得a_n-a_n-1=2（n≥3），繼而得到{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數列，問題得以解決；
（Ⅱ）根據等差數列的求和公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）因為${a_n}^2=4{S_{n-1}}+4n（n≥2）$，①${a_{n-1}}^2=4{S_{n-2}}+4（n-1）（n≥3）$，②
所以①-②得，${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=4{a_{n-1}}+4$，
即${a_n}^2={（{a_{n-1}}+2）^2}$，
因為a_n＞0，所以a_n=a_n-1+2，即a_n-a_n-1=2（n≥3），
又由a₁=2，${a_n}^2=4{S_{n-1}}+4n$，
得${a_2}^2=4{S_1}+8=16$，所以a₂=4，a₂-a₁=2，
所以{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數列，
所以a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n，
所以a₂+a₅+a₈+…+a₈₉=4+10+16+…+178=$\frac{（4+178）×30}{2}=2730$．

點評 本題考查數列的通項和求和的關系，考查數列的求和方法，屬于中檔題．