Question

12．已知函數f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其中e為自然對數的底數．
（1）討論函數y=f（x）的單調性；
（2）函數y=f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，x₁＜x₂，點C在函數y=f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記$\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}=t$，求at-（a+t）的值．

Answer 1

分析 （1）求導，分類討論，根據導數與函數單調性的關系，即可求得f（x）的單調性區間；
（2）由題意可知：C=90°，則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}∈（{x_{1\;}}，{x_2}）$，即y₀=f（x₀）＜0，然后得到關于參數a的方程$at-\frac{a}{2}（1+{t^2}）+\frac{1}{2}（{t^2}-1）=0$，則$a=1+\frac{2}{t-1}$，則（a-1）（t-1）=2．即可求得at-（a+t）=1．

解答 解：（1）函數f（x）=e^x-ax+a，f'（x）=e^x-a，
①當a≤0時，則f'（x）＞0，則函數f（x）在（-∞，+∞）是單調增函數．
②當a＞0時，令f'（x）=0，則x=lna，
若x＜lna，f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，lna）上是單調減函數；
若x＞lna，f'（x）＞0，所以f（x）在（lna，+∞）上是單調增函數．
（2）由（1）可知當a＞0時，函數y=f（x）其圖象與x軸交于兩點，則有${e^{x_i}}-a{x_i}+a=0$，則$a（{x_i}-1）={e^{x_i}}＞0$，則x_i＞1（i=1，2）．
于是${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}=a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}$，在等腰三角形ABC中，顯然C=90°，所以${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}∈（{x_{1\;}}，{x_2}）$，即y₀=f（x₀）＜0，
由直角三角形斜邊的中線性質，可知$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=-{y_0}$，
所以${y_0}+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，即${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}-\frac{a}{2}（{x_1}+{x_2}）+a+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，
所以$a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}-\frac{a}{2}（{x_1}+{x_2}）+a+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，
即$a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}-\frac{a}{2}[（{x_1}-1）+（{x_2}-1）]+\frac{{（{x_2}-1）-（{x_1}-1）}}{2}=0$．
因為x₁-1≠0，則$a\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}-\frac{a}{2}（{1+\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}）+\frac{{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}-1}}{2}=0$，
又$\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}=t$，所以$at-\frac{a}{2}（1+{t^2}）+\frac{1}{2}（{t^2}-1）=0$，
即$a=1+\frac{2}{t-1}$，則（a-1）（t-1）=2．
所以at-（a+t）=1．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查利用導數判斷函數的單調性，考查分類討論的思想，轉化思想，方程思想，做題要認真仔細，方法要明，過程要嚴謹，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于難題．