Question

9．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n有最大值，且$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，則S_n取得最小正值時，n=（　　）

• A． 1
• B． 8
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 等差數列{a_n}的前n項和S_n有最大值，可得：a₁＞0，d＜0．由于$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，可得a₈（a₈+a₉）＜0，可得-7d＜a₁＜-$\frac{15}{2}$d，再利用前n項和公式即可得出．

解答 解：∵等差數列{a_n}的前n項和S_n有最大值，
∴a₁＞0，d＜0．
∵$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，
∴a₈（a₈+a₉）＜0，
∴（a₁+7d）（2a₁+15d）＜0，
∴-7d＜a₁＜-$\frac{15}{2}$d，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴S₁₅=15（a₁+7d）＞0，
S₁₆=16（a₁+$\frac{15}{2}$d）＜0，
∴當S_n取得最小正值時，n=15．
故選：C．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．