Question

14．如圖，在三棱錐D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E為BC的中點，F在棱AC上，且AF=3FC，
（1）求證：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點H，推導出BH⊥AC，EF⊥AC，DE⊥BC，AB⊥DE，DE⊥AC．由此能證明AC⊥平面DEF．
（2）取AC中點G，以E為原點，EC為x軸，EG為y軸，ED為z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取AC的中點H，
∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F為CH的中點．
而E為BC的中點，∴EF∥BH．∴EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．
∵AC?平面ABC，∴DE⊥AC．
而DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
解：（2）取AC中點G，以E為原點，EC為x軸，EG為y軸，ED為z軸，
建立空間直角系，設AB=BC=2，
則E（0，0，0），C（1，0，0），A（-1，2，0），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
B（-1，0，0），D（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{ED}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
設平面EFP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{AB}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，-2，$\sqrt{3}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=a-2b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
設平面DEF與平面ABD所成的銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{2}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．