Question

19．在數列{a_n}中，前n項和為S_n，且S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，數列{b_n}的前n項和為T_n，且b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在m，n∈N^*，使得T_n=a_m，若存在，求出所有滿足題意的m，n，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由已知：T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和T_n，即可得出結論．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n
經驗證，a₁=1滿足上式，故數列{a_n}的通項公式a_n=n；…（6分）
（2）由題意，易得T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
所以T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$…（10分）
由于T_n＜2，又2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$=m，∴m=1，解得n=2．…（12分）

點評 本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，考查錯位相減法的合理運用，屬于中檔題．