Question

4．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M（-3，m）到焦點的距離等于5，
（1）求拋物線的方程．
（2）過點P（-4，1）作直線l交拋物線與A，B兩點，使弦AB恰好被P點平分，求直線l的方程．

Answer 1

分析 根據題意可設拋物線的方程為：y²=-2px，利用拋物線的定義求得p的值，得到拋物線的方程；
（2）由題意可設AB的方程為x=my-4-m，代入拋物線的標準方程為y²=-8x，由y₁+y₂=-8m=2，求得m的值，從而得到AB的方程．

解答 解：（1）由題意可設拋物線方程：y²=-2px，
焦點坐標為（-$\frac{p}{2}$，0），準線為：x=$\frac{p}{2}$，
∵拋物線上的點M（-3，m）到焦點的距離是5．
由拋物線的定義可得，$\frac{p}{2}$+3=5，
解得p=4，
即有拋物線方程為y²=-8x；
（2）由題意可設AB的方程為x=my-4-m，代入拋物線的標準方程為y²=-8x，
可得y²+8my-32-8m=0，∴y₁+y₂=-8m=2，∴m=-$\frac{1}{4}$，∴AB的方程為4x+y+15=0．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系，線段的中點公式的應用，得到y₁+y₂=-8m=2，是解題的關鍵．