Question

2．設f（x）是定義在（-1，+∞）內的增函數，且f（xy）=f（x）+f（y）若f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2
求：
（1）f（9）的值，
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（3）=1，函數滿足f（xy）=f（x）+f（y），賦值法求解即可．
（2）將f（3）=1轉化為f（9），根據定義域和單調性轉化為不等式求解．

解答 解：（1）f（x）是定義在（-1，+∞）內的增函數，f（3）=1，函數滿足f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=3，f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=1+1=2．
即f（9）=2．
（2）由（1）可得f（9）=2，
則f（a）＞f（a-1）+2轉化為f（a）＞f（a-1）+f（9），
∴f（a）＞f（9a-9），
又∵f（x）在（-1，+∞）上是增函數，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a-1＞-1}\\{a＞9a-9}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a＞0}\\{a＜\frac{9}{8}}\end{array}}\right.$，
∴$0＜a＜\frac{9}{8}$．
故得a的取值范圍是（0，$\frac{9}{8}$）．

點評 本題考查了抽象函數的賦值法求解函數值，利用函數的單調性求解不等式問題．屬于中檔題．