Question

9．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且2acosC-c=2b．
（1）求角A的大小；    （2）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得cosA=-$\frac{1}{2}$，結合范圍0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由正弦定理可得b=$\frac{2sinB}{\sqrt{3}}$，c=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}}$，利用三角函數恒等變換的應用可得三角形周長l=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（B+$\frac{π}{3}$），結合范圍 B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函數的性質可求求值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由2acosC-c=2b得2sinAcosC-sinC=2sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\frac{1}{2}$sinC=-cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$．…（5分）
（2）∵b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2sinB}{\sqrt{3}}$，c=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}}$，
∴l=a+b+c
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC）
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（B+$\frac{π}{3}$），
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$），B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（B+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故△ABC的周長l的取值范圍為（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1]．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．