Question

1．已知函數f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}（{a＞0}）$是奇函數，則函數$g（x）={log_{\frac{1}{a}}}（{{x^2}-6x+5}）$的單調遞減區間是（5，+∞）．

Answer 1

分析 根據f（x）為奇函數，從而f（-x）=-f（x），這樣即可求出a=2，從而$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，進而可判斷g（x）是由t=x²-6x+5和$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$復合而成的復合函數，并且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$為減函數，這樣根據二次函數單調性及復合函數單調性即可求出g（x）的單調遞減區間．

解答 解：f（x）是奇函數；
∴f（-x）=-f（x），即$lg\frac{1-ax}{1+2x}=-lg\frac{1+ax}{1-2x}$；
∴$lg\frac{1-ax}{1+2x}=lg\frac{1-2x}{1+ax}$；
∴$\frac{1-ax}{1+2x}=\frac{1-2x}{1+ax}$；
∴1-a²x²=1-4x²；
∴a²=4，且a＞0；
∴a=2；
∴$g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-6x+5）$，該函數是由t=x²-6x+5和$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$復合成的復合函數；
且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$為減函數，t＞0；
∴g（x）的單調遞減區間為（5，+∞）．
故答案為：（5，+∞）．

點評 考查奇函數的定義，對數的運算，多項式相等的充要條件，以及復合函數的定義，復合函數單調區間的求法，對數函數和二次函數的單調性．