Question

6．有共同底邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設有共同底邊的等邊三角形ABC和BCD的邊長為2，取BC中點O，連結AO，BO，則OA，OB，OC兩兩垂直，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出異面直線AB和CD所成角的余弦值．

解答 解：設有共同底邊的等邊三角形ABC和BCD的邊長為2，
取BC中點O，連結AO，BO，則OA，OB，OC兩兩垂直，
以O為原點，建立如圖所求的空間直角坐標系O-xyz，
則B（0，-1，0）A（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），
D（$\sqrt{3}，0，0$），
$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
設異面直線AB和CD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$．
∴異面直線AB和CD所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．