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18.已知△ABC的面積為S,且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}=S$.
(1)求tanA的值;
(2)若B=$\frac{π}{4},c=6$,求△ABC的面積S.

分析 (1)設(shè)出三角形的邊長,利用三角形的面積以及向量的數(shù)量積,轉(zhuǎn)化求解A的正切函數(shù)值.
(2)利用兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解三角形的面積即可.

解答 解:(1)由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}=S$,設(shè)三角形的邊長為:a,b,c,則:bccosA═$\frac{1}{2}$bcsinA,
可得tanA=2.
(2)由(1)可知A∈(0,$\frac{π}{2}$),則sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,B=$\frac{π}{4},c=6$,
可得cosC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB═$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,…(10分)
b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1-(\frac{3\sqrt{10}}{10})^{2}}}$=2$\sqrt{5}$.
故S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×6×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=12.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積以及正弦定理,兩角和與差的三角函數(shù),考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊系列答案
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同步練習(xí)冊答案
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