Question

3．已知偶函數y=f（x）對于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式中成立的是（　　）

• A． $\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$）
• B． $\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$）
• C． f（0）$＞\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$）
• D． f（$\frac{π}{4}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 構造函數，利用函數的導數，判斷函數的單調性，然后推出結果．

解答 解：偶函數y=f（x）對于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
構造函數F（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
可得F′（x）=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，
可知F（x）是增函數，F（$\frac{π}{4}$）＜F（$\frac{π}{3}$）．
可得：$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$，
可得：f（$\frac{π}{4}$）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）．
故選：D．

點評 本題考查函數的導數的應用，考查構造法的應用，考查轉化思想以及計算能力．