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4.某縣位于沙漠地帶,人與自然長期進行著頑強的斗爭,到2001年底全縣的綠化率已達30%.從2002年開始,每年將出現這樣的局面,即現有沙漠面積的16%將被綠化,與此同時,由于各種原因,原有綠化面積的4%又被沙化.
(1)設全縣面積為1,2001年底綠化面積為${a_1}=\frac{3}{10}$,經過n年綠化總面積達到an.求an和an+1的關系式子;
(2)至少經過多少年努力才能使全縣的綠化率達到60%?(取lg2=0.30).

分析 (1)根據題意利用今年的綠化面積表示出明年的綠化面積是解決本題的關鍵,弄清楚今年的綠化面積與明年綠化面積之間的關系,將文字語言表示為數學語言;
(2)根據(1)中得出的兩年綠化面積之間的遞推關系,通過構造轉化為特殊數列進而求出該數列的通項公式是解決本題的關鍵,利用指數式和對數式之間的關系確定出合題意的年份.

解答 解:(1)證明:由已知可得an確定后,an+1表示如下:an+1=an•(1-4%)+(1-an)•16%
即an+1=80%an+16%=$\frac{4}{5}{a}_{n}+\frac{4}{25}$,∴an和an+1的關系為:an+1=$\frac{4}{5}$an+$\frac{4}{25}$‘
(2)由an+1=$\frac{4}{5}$an+$\frac{4}{25}$⇒an+1-$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}$(an-$\frac{4}{5}$)=$(\frac{4}{5})^{2}({a}_{n-1}-\frac{4}{5})=…=(\frac{4}{5})^{n}({a}_{1}-\frac{4}{5})$,
故有an+1=-$\frac{1}{2}•(\frac{4}{5})^{n}+\frac{4}{5}$,若an+1≥$\frac{3}{5}$,$\frac{1}{2}≥(\frac{4}{5})^{n-1}$,
兩邊同時取對數可得-lg2≥(n-1)(2lg2-lg5)=(n-1)(3lg2-1)⇒n≥$\frac{lg2}{1-3lg2}+1>4$
故使得上式成立的最小n∈N*為5,
答:最少需要經過5年的努力,才能使全縣的綠化率達到60%.

點評 本題考查數列在實際問題中的應用,考查探索數列遞推關系的數學模型意識,關鍵要將題目中的文字語言轉化為數學語言,考查學生根據數列的遞推關系確定通項公式的方法,考查學生對數的運算、轉化與化歸思想方法.

練習冊系列答案
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