Question

8．已知a∈R，函數f（x）=x³-ax²+ax+a，g（x）=f（x）+（a-3）x．
（1）求證：曲線y=f（x）在點（1，f（x））處的切線過定點；
（2）若g（1）是g（x）在區間（0，3]上的極大值，但不是最大值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（1），f（1），求出求出方程，從而求出定點即可；
（2）求出g（x）的導數，根據g（1）是g（x）在區間（0，3]上的極大值，不是最大值，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 （1）證明：∵f'（x）=3x²-2ax+a，∴f'（1）=3-a…（1分）
∵f（1）=a+1，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（a+1）=（3-a）（x-1），…（2分）
即a（x-2）=3x-y-2，令x=2，則y=4，
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線過定點（2，4）…（3分）
（2）解：g'（x）=f'（x）+a-3=3x²-2ax+2a-3=（x-1）[3x-（2a-3）]，
令g'（x）=0得x=1或$x=\frac{2a-3}{3}$…（4分）
∵g（1）是g（x）在區間（0，3]上的極大值，∴$\frac{2a-3}{3}＞1$，∴a＞3…（5分）
令g'（x）＞0，得x＜1或$x＞\frac{2a-3}{3}，g（x）$遞增；令g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{2a-3}{3}，g（x）$遞減，
∵g（1）不是g（x）在區間（0，3]上的最大值，
∴g（x）在區間（0，3]上的最大值為g（3）=18-2a，…（6分）
∴g（3）=18-2a＞g（1）=2a-2，∴a＜5，又a＞3，∴3＜a＜5…（7分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．