Question

16．已知函數f（x）=x²-2tx-4t-4，g（x）=$\frac{1}{x}$-（t+2）²，兩個函數圖象的公切線恰為3條，則實數t的取值范圍為（$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 設切點為（x₁，f（x₁）），（x₂，g（x₂）），分別求出f（x），g（x）導數，可得切線的方程，由同一直線可得即可化為$\frac{2}{{x}_{2}}$-$\frac{t}{{{x}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{4{{x}_{2}}^{4}}$=0，即8x₂³-4tx₂²+1=0有3個非零實根，令h（x）=8x³-4tx²+1，有3個非零零點，h（0）=1，求出h（x）導數，對t討論，分t=0，t＞0，t＜0，求出單調區間和極值，即可得到所求范圍．

解答 解：設切點為（x₁，f（x₁）），（x₂，g（x₂）），
則f′（x₁）=2x₁-2t，g′（x₂）=-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，
切線方程為y-f（x₁）=f′（x₁）（x-x₁），
即y=（2x₁-2t）x-x₁²-4t-4；
y-g（x₂）=g′（x₂）（x-x₂），
即y=-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$x+$\frac{2}{{x}_{2}}$-t²-4t-4．
即2x₁-2t=-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，且-x₁²-4t-4=$\frac{2}{{x}_{2}}$-t²-4t-4．
即有x₁=t-$\frac{1}{2{x}_{{2}^{2}}}$，x₁²=t²-$\frac{2}{{x}_{2}}$，
即可化為$\frac{2}{{x}_{2}}$-$\frac{t}{{{x}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{4{{x}_{2}}^{4}}$=0，
即8x₂³-4tx₂²+1=0有3個非零實根，
令h（x）=8x³-4tx²+1，有3個非零零點，h（0）=1，
h′（x）=24x²-8tx=24x（x-$\frac{t}{3}$），
當t=0時，h′（x）=24x²＞0，h（x）遞增，不符合條件；
當t＞0，當x＜0或x＞$\frac{t}{3}$時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
0＜x＜$\frac{t}{3}$時，h′（x）＜0，h（x）遞減，
h（x）極大值為為h（0）=1＞0，h（x）極小值為h（$\frac{t}{3}$）=1-$\frac{4}{27}$t³，
由1-$\frac{4}{27}$t³＜0，解得t＞$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，
若t＜0，則當x＞0或x＜$\frac{t}{3}$時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
$\frac{t}{3}$＜x＜0時，h′（x）＜0，h（x）遞減，
h（x）極大值為為h（0）=1＞0，h（x）極小值為h（$\frac{t}{3}$）=1-$\frac{4}{27}$t³＞0，不符要求．
故t＞$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，
故答案為：（$\frac{3\root{3}{2}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間、極值，考查分類討論、轉化思想和運算求解能力，屬于難題．