Question

7．設函數f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當b＞$\frac{1}{2}$時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（Ⅱ）當b≤$\frac{1}{2}$時，求函數f（x）的極值點．

Answer 1

分析 （I）首先判斷函數的定義域，并求出f（x）導數，利用導函數判斷函數的單調性即可；
（II）分類討論當b=$\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0恒成立，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點；當b＜$\frac{1}{2}$時，根據導函數零點判斷原函數是否存在極值點；

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=x²+bln（x+1）的定義域在（-1，+∞），f'（x）=2x+$\frac{b}{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$；
令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上遞增，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上遞減，
g（x）_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$+b，當b＞$\frac{1}{2}$時，g（x）_min＞0；
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即當b＞$\frac{1}{2}$，函數f（x）在定義域（-1，+∞）上單調遞增．        
（Ⅱ）（1）當b=$\frac{1}{2}$時，f'（x）=$\frac{2（x+\frac{1}{2}）^{2}}{x+1}$，
∴x∈（-1，-$\frac{1}{2}$）時，f'（x）＞0；x∈（-$\frac{1}{2}$，+∞）時，f'（x）＞0，
∴b=$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點；                            
（2）當b＜$\frac{1}{2}$時，解f'（x）=0得兩個不同解${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
當b＜0時，${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$，
∴x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），
f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
當0＜b＜$\frac{1}{2}$時，x₁，x₂∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，f（x）有一個極大值點${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}$和一個極小值點${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
綜上可知，b＜0，時，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
0＜b＜$\frac{1}{2}$時，f（x）有一個極大值點${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}$和一個極小值點${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
$b=\frac{1}{2}$時，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點．

點評 本題主要考查了利用導函數判斷原函數的單調性，以及函數極值點等綜合性知識點，屬中等偏上題．