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7.設函數f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(Ⅰ)當b>$\frac{1}{2}$時,判斷函數f(x)在定義域上的單調性;
(Ⅱ)當b≤$\frac{1}{2}$時,求函數f(x)的極值點.

分析 (I)首先判斷函數的定義域,并求出f(x)導數,利用導函數判斷函數的單調性即可;
(II)分類討論當b=$\frac{1}{2}$時,f'(x)>0恒成立,函數f(x)在(-1,+∞)上無極值點;當b<$\frac{1}{2}$時,根據導函數零點判斷原函數是否存在極值點;

解答 解:(Ⅰ)函數f(x)=x2+bln(x+1)的定義域在(-1,+∞),f'(x)=2x+$\frac{b}{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$;
令g(x)=2x2+2x+b,則g(x)在(-$\frac{1}{2}$,+∞)上遞增,在(-1,-$\frac{1}{2}$)上遞減,
g(x)min=g(-$\frac{1}{2}$)=-$\frac{1}{2}$+b,當b>$\frac{1}{2}$時,g(x)min>0;
g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立,
所以f'(x)>0即當b>$\frac{1}{2}$,函數f(x)在定義域(-1,+∞)上單調遞增.        
(Ⅱ)(1)當b=$\frac{1}{2}$時,f'(x)=$\frac{2(x+\frac{1}{2})^{2}}{x+1}$,
∴x∈(-1,-$\frac{1}{2}$)時,f'(x)>0;x∈(-$\frac{1}{2}$,+∞)時,f'(x)>0,
∴b=$\frac{1}{2}$時,函數f(x)在(-1,+∞)上無極值點;                            
(2)當b<$\frac{1}{2}$時,解f'(x)=0得兩個不同解${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2},{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$;
當b<0時,${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2},{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$,
∴x1∈(-∞,-1),x2∈(-1,+∞),
f(x)在(-1,+∞)上有唯一的極小值點${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$;
當0<b<$\frac{1}{2}$時,x1,x2∈(-1,+∞)f'(x)在(-1,x1),(x2,+∞)都大于0,
f'(x)在(x1,x2)上小于0,f(x)有一個極大值點${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}$和一個極小值點${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$;
綜上可知,b<0,時,f(x)在(-1,+∞)上有唯一的極小值點${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$;
0<b<$\frac{1}{2}$時,f(x)有一個極大值點${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}$和一個極小值點${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$;
$b=\frac{1}{2}$時,函數f(x)在(-1,+∞)上無極值點.

點評 本題主要考查了利用導函數判斷原函數的單調性,以及函數極值點等綜合性知識點,屬中等偏上題.

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