Question

17．已知a，b為正實數，向量$\overrightarrow{m}$=（a，4），向量$\overrightarrow{n}$=（b，b-1），若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，則a+b最小值為9．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得4b-a（b-1）=0，（b≠1），而a=$\frac{4b}{b-1}$＞0，解得b＞1．變形再利用基本不等式的性質即可得出a+b的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴4b-a（b-1）=0，（b≠1）
∴a=$\frac{4b}{b-1}$＞0，解得b＞1．
∴a+b=$\frac{4b}{b-1}$+b=5+$\frac{4}{b-1}$+b-1．
b＞1時，a+b≥5+2$\sqrt{\frac{4}{b-1}×（b-1）}$=9，當且僅當b=3時，取等號，
∴a+b最小值為9．
故答案為：9．

點評 本題考查了向量共線定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．