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4.已知圓C1:ρ=-2cosθ,曲線C2:$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$(θ為參數).
(1)化圓C1和曲線C2的方程為普通方程;
(2)過圓C1的圓心C1且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l交曲線C2于A,B兩點,求圓心C1到A,B兩點的距離之積.

分析 (1)圓C1:ρ=-2cosθ,即ρ2=-2ρcosθ,利用互化公式可得圓C1的普通方程.由曲線C2:$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$(θ為參數),利用平方關系可得:曲線C2的普通方程.
(2)由(1)可知:C1(-1,0)則直線l的參數方程為:$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}(t}\right.$為參數),將其代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,有$\frac{13}{4}{t^2}-t-3=0$,圓心C1到A,B兩點的距離之積為|t1t2|.

解答 解:(1)圓C1:ρ=-2cosθ,即ρ2=-2ρcosθ,可得x2+y2=2x圓C1的普通方程為:(x+1)2+y2=1.
由曲線C2:$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$(θ為參數),利用平方關系可得:曲線C2的普通方程為:$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$.
(2)由(1)可知:C1(-1,0)則直線l的參數方程為:$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}(t}\right.$為參數),
將其代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,有$\frac{13}{4}{t^2}-t-3=0$,${t_1}{t_2}=-\frac{12}{13}$.
所以圓心C1到A,B兩點的距離之積為$|{{t_1}{t_2}}|=\frac{12}{13}$.

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線參數方程 的應用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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