Question

4．已知圓C₁：ρ=-2cosθ，曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ為參數）．
（1）化圓C₁和曲線C₂的方程為普通方程；
（2）過圓C₁的圓心C₁且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l交曲線C₂于A，B兩點，求圓心C₁到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析 （1）圓C₁：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，利用互化公式可得圓C₁的普通方程．由曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ為參數），利用平方關系可得：曲線C₂的普通方程．
（2）由（1）可知：C₁（-1，0）則直線l的參數方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}（t}\right.$為參數），將其代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，有$\frac{13}{4}{t^2}-t-3=0$，圓心C₁到A，B兩點的距離之積為|t₁t₂|．

解答 解：（1）圓C₁：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，可得x²+y²=2x圓C₁的普通方程為：（x+1）²+y²=1．
由曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ為參數），利用平方關系可得：曲線C₂的普通方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由（1）可知：C₁（-1，0）則直線l的參數方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}（t}\right.$為參數），
將其代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，有$\frac{13}{4}{t^2}-t-3=0$，${t_1}{t_2}=-\frac{12}{13}$．
所以圓心C₁到A，B兩點的距離之積為$|{{t_1}{t_2}}|=\frac{12}{13}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線參數方程 的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．