Question

11．已知△ABC是銳角三角形，若A=2B，則$\frac{a}{b}$的取值范圍是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{2}$，2）
• C． （1，$\sqrt{3}$）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 由正弦定理可得：$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=2cosB，利用三角形的角的范圍，求出比值的范圍即可．

解答 解：∵A=2B，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=2cosB，
∵當C為最大角時C＜$\frac{π}{2}$⇒B＜$\frac{π}{4}$，
當A為最大角時A＜$\frac{π}{2}$⇒B＞$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，可得：2cos$\frac{π}{4}$＜2cosB＜2cos$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{a}{b}$∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
故選：A．

點評 本題考查了正弦定理、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．