Question

20．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂．若橢圓上存在點P使∠F₁PF₂=90°．則橢圓的離心率的取值范圍是$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．

Answer 1

分析 當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達到最大值，由此可得結論．

解答 解：如圖，當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達到最大值．由此可得：
∵存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=90°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥90°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥45°，
所以P₀O≤OF₂，即b≤c，
∴a²-c²≤c²，可得a²≤2c²，
∴$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．

點評 本題考查了直角三角形的三角函數和橢圓的簡單幾何性質等知識點，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題．