Question

20．已知函數的方程為f（x）=-x⁴+2x²+3，x∈[-3，2]，
（1）求函數在此區間上的極值；
（2）求函數在此區間上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（2）根據函數的單調性求出函數的端點值和函數的極值，通過比較求出函數的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=-4x³+4x=-4x（x+1）（x-1），x∈[-3，2]，
令f′（x）＞0，解得：x∈[-3，-1）∪（0，1），
令f′（x）＜0，解得：x∈（-1，0）∪（1，2]，
故f（x）在[-3，-1）遞增，在（-1，0）遞減，在（0，1）遞增，在（1，2]遞減，
故f（x）的極大值是f（-1）和f（1），而f（-1）=f（1）=4，
故函數的極大值是4，
f（x）的極小值是f（0）=3；
（2）由（1）f（-3）=-60，f（2）=-5，
而函數的極大值是4，f（x）的極小值是f（0）=3；
故函數的最小值-60，最大值4．

點評 本題考查了函數的單調性、最值、極值問題，考查導數的應用，是一道基礎題．