Question

9．已知函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-ax+（{a-1}）lnx$．討論函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=x-a+\frac{a-1}{x}=\frac{{{x^2}-ax+（{a-1}）}}{x}$=$\frac{{（{x-1}）（{x+1-a}）}}{x}$，
令f'（x）=0，解得x₁=1，x₂=a-1，
①當a=2時，f'（x）≥0恒成立，則函數f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．
②當a-1＞1，即a＞2時，在區間（0，1）和（a-1，+∞）上f'（x）＞0；
在區間（1，a-1）上f'（x）＜0，
故函數f（x）的單調遞增區間是（0，1）和（a-1，+∞），單調遞減區間是（1，a-1）．
③當0＜a-1＜1，即1＜a＜2時，在區間（0，a-1）和（1，+∞）上，f'（x）＞0；
在區間（a-1，1）上f'（x）＜0，
故函數f（x）的單調遞增區間是（0，a-1）和（1，+∞），單調遞減區間是（a-1，1）．
④當a-1≤0，即a≤1時，在區間（0，1）上f'（x）＜0，
在區間（1，+∞）上f'（x）＞0，
故函數f（x）的單調遞增區間是（1，+∞），單調遞減區間是（0，1）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．