Question

7．已知m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開式中x的系數為19，則當x²的系數最小時展開式中x⁷的系數為156．

Answer 1

分析 m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開式中x的系數為19，可得m+n=19．則當x²的系數=${∁}_{m}^{2}+{∁}_{n}^{2}$=n²-19n+171=$（n-\frac{19}{2}）^{2}$+$\frac{323}{4}$．可得n=10或9時，x²的系數取得最小值．可得f（x）=（1+x）⁹+（1+x）¹⁰．再利用通項公式即可得出．

解答 解：m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展開式中x的系數為19，
∴m+n=19．
則當x²的系數=${∁}_{m}^{2}+{∁}_{n}^{2}$=$\frac{m（m-1）+n（n-1）}{2}$=$\frac{（19-n）（18-n）+n（n-1）}{2}$=n²-19n+171=$（n-\frac{19}{2}）^{2}$+$\frac{323}{4}$．
∴n=10或9時，x²的系數最小為：81．
∴f（x）=（1+x）⁹+（1+x）¹⁰．
展開式中x⁷的系數=${∁}_{9}^{7}+{∁}_{10}^{7}$=156．
故答案為：156．

點評 本題考查了二項式定理的應用、二次函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．