Question

17．已知正四棱錐的棱長都等于4，則該正四棱錐內切球的表面積為（32-16$\sqrt{3}$）π．

Answer 1

分析 求出正四棱錐的體積，然后求出正四棱錐的表面積，利用等體積方法求出內切求的半徑，再求表面積．

解答 解：如圖所示，設正四棱錐底面的中心為O，則
在直角△ABC中，AB=4，AC=4$\sqrt{2}$，
∴AO=CO=2$\sqrt{2}$，
在直角△PAO中，PO=AO=2$\sqrt{2}$，
∴正四棱錐的體積為：$\frac{1}{3}$•4²•2$\sqrt{2}$=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$；
設正四棱錐內切球的半徑為r，
正四棱錐的表面積為：4²+4•$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²=16+16$\sqrt{3}$，
正四棱錐的體積：$\frac{1}{3}$•（16+16$\sqrt{3}$）•r=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$，
∴球的半徑r=$\frac{2\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴內切球的表面積為4π•${（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}^{2}$=（32-16$\sqrt{3}$）π．
故答案為：（32-16$\sqrt{3}$）π．

點評 本題主要考查了正四棱錐內切球的表面積計算問題，等體積法求出球的半徑是解題的關鍵．