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2.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$.
(1)分別求$f(2)+f({\frac{1}{2}}),f(3)+f({\frac{1}{3}}),f(4)+f({\frac{1}{4}})$的值,并歸納猜想一般性結(jié)論(不要求證明);
(2)求值:$2f(2)+2f(3)+…+2f({2017})+f({\frac{1}{2}})+f({\frac{1}{3}})+…f({\frac{1}{2017}})+\frac{1}{2^2}f(2)+\frac{1}{3^2}f(3)+…+\frac{1}{{{{2017}^2}}}•f({2017})$.

分析 (1)代值計(jì)算即可,并猜想一般的結(jié)論,
(2)由(1)$f(x)+f({\frac{1}{x}})=1$,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)∵$f(x)=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$,
∴$f(2)+f({\frac{1}{2}})=\frac{2^2}{{1+{2^2}}}+\frac{{{{({\frac{1}{2}})}^2}}}{{1+{{({\frac{1}{2}})}^2}}}=\frac{2^2}{{1+{2^2}}}+\frac{1}{{1+{2^2}}}=1$,
同理可得$f(3)+f({\frac{1}{3}})=1,f(4)+f({\frac{1}{4}})=1$,
猜想$f(x)+f({\frac{1}{x}})=1$.
(2)∵$f(x)+\frac{1}{x^2}f(x)=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}({1+\frac{1}{x^2}})=1$,
又由(1)得,$f(x)+f({\frac{1}{x}})=1$,
則$2f(2)+2f(3)+…2f({2017})+f({\frac{1}{2}})+f({\frac{1}{3}})+…f({\frac{1}{2017}})+\frac{1}{2^2}f(2)+\frac{1}{3^2}f(3)+…\frac{1}{{{{2017}^2}}}f({2017})$
=$[{f(2)+f({\frac{1}{2}})+f(2)+\frac{1}{2^2}f({\frac{1}{2}})}]+[{f(3)+f({\frac{1}{3}})+f(3)+\frac{1}{3^2}f({\frac{1}{3}})}]+$$…[{f({2017})+f({\frac{1}{2017}})+f({2017})+\frac{1}{{{{2017}^2}}}f({\frac{1}{2017}})}]=2×2016=4032$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理,考查學(xué)生的計(jì)算能力,正確歸納是關(guān)鍵,屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.已知x3+sin2x=m,y3+sin2y=-m,且$x,y∈({-\frac{π}{4},\frac{π}{4}})$,m∈R,則$tan({x+y+\frac{π}{3}})$=$\sqrt{3}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,向量$\overrightarrow{m}$=(1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{n}$=(cosA,sinA),且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1.
(1)求角A;  
(2)若$\frac{1+sin2B}{co{s}^{2}B-si{n}^{2}B}$=2,求tanC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.已知$\frac{m}{1-i}=1+ni$,其中m、n是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則m+ni=(  )
A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

17.已知正四棱錐的棱長(zhǎng)都等于4,則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為(32-16$\sqrt{3}$)π.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.已知圓C:x2+(y-4)2=4,直線l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0
(Ⅰ)求直線l所過(guò)定點(diǎn)A的坐標(biāo);
(Ⅱ)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值及最短弦長(zhǎng);
(Ⅲ)已知點(diǎn)M(-3,4),在直線MC上(C為圓心),存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M),
滿足:對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有$\frac{|PM|}{|PN|}$為一常數(shù),試求所有滿足條件的點(diǎn)N的
坐標(biāo)及該常數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

14.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)100名性別不同的大學(xué)生是否愛好踢毽子,得到如的列聯(lián)表,參照附表,則在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)(  )情況下認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.
 總計(jì)
愛好104050
不愛好203050
總計(jì)3070n
A.1%B.2.5%C.5%D.10%

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的分別是a,b,c,若a=4,b=6,C=60°.
(1)求$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$;
(2)求$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖,甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的平均數(shù)分別為$\overline{x_甲}$,$\overline{x_乙}$;準(zhǔn)差分別是s,s,則有(  )
A.$\overline{x_甲}$<$\overline{x_乙}$,s<sB.$\overline{x_甲}$<$\overline{x_乙}$,s>s
C.$\overline{x_甲}$>$\overline{x_乙}$,s<sD.$\overline{x_甲}$>$\overline{x_乙}$,s>s

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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