Question

7．已知圓C：x²+（y-4）²=4，直線l：（3m+1）x+（1-m）y-4=0
（Ⅰ）求直線l所過定點A的坐標；
（Ⅱ）求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長；
（Ⅲ）已知點M（-3，4），在直線MC上（C為圓心），存在定點N（異于點M），
滿足：對于圓C上任一點P，都有$\frac{|PM|}{|PN|}$為一常數，試求所有滿足條件的點N的
坐標及該常數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直線系方程的特征，直接求解直線l過定點A的坐標．
（Ⅱ）當AC⊥l時，所截得弦長最短，由題知C（0，4），r=2，求出AC的斜率，利用點到直線的距離，轉化求解即可．
（Ⅲ）法一：由題知，直線MC的方程為y=4，假設存在定點N（t，4）滿足題意，
則設P（x，y），$\frac{|PM|}{|PN|}=λ$，得|PM|²=λ²|PN|²（λ＞0），且（y-4）²=4-x²，求出λ，然后求解比值．
法二：設直線MC上的點N（t，4）取直線MC與圓C的交點P₁（-2，4），則$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{1}{|t+2|}$，取直線MC與圓C的交點P₂（2，4），則$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{5}{|t-2|}$，通過令$\frac{1}{|t+2|}=\frac{5}{|t-2|}$，存在這樣的定點N滿足題意，則必為$N（-\frac{4}{3}，4）$，然后證明即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意得，m（3x-y）+（x+y-4）=0，
令3x-y=0且x+y-4=0，得x=1，y=3∴直線l過定點A（1，3），
（Ⅱ）當AC⊥l時，所截得弦長最短，由題知C（0，4），r=2，
∴${k_{AC}}=\frac{4-3}{0-1}=-1$，得${k_l}=\frac{-1}{{{k_{AC}}}}=\frac{-1}{-1}=1$，∴由$\frac{3m+1}{m-1}=1$得m=-1，
∴圓心到直線的距離為$d=|AC|=\sqrt{2}$，
∴最短弦長為$l=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$．
（Ⅲ）法一：由題知，直線MC的方程為y=4，假設存在定點N（t，4）滿足題意，
則設P（x，y），$\frac{|PM|}{|PN|}=λ$，得|PM|²=λ²|PN|²（λ＞0），且（y-4）²=4-x²
∴（x+3）²+（y-4）²=λ²（x-t）²+λ²（y-4）²
∴（x+3）²+4-x²=λ²（x-t）²+λ²（4-x²）
整理得，（6+2tλ²）x-（λ²t²+4λ²-13）=0
∵上式對任意x∈[-2，2]恒成立，
∴6+2tλ²=0且λ²t²+4λ²-13=0
解得$t=-\frac{4}{3}，λ=\frac{3}{2}$或t=-3，λ=1（舍去，與M重合）
綜上可知，在直線MC上存在定點$N（-\frac{4}{3}，4）$，使得$\frac{|PM|}{|PN|}$為常數$\frac{3}{2}$
法二：設直線MC上的點N（t，4）
取直線MC與圓C的交點P₁（-2，4），則$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{1}{|t+2|}$
取直線MC與圓C的交點P₂（2，4），則$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{5}{|t-2|}$
令$\frac{1}{|t+2|}=\frac{5}{|t-2|}$，解得$t=-\frac{4}{3}$或t=-3（舍去，與M重合），此時$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{3}{2}$
若存在這樣的定點N滿足題意，則必為$N（-\frac{4}{3}，4）$，
下證：點$N（-\frac{4}{3}，4）$滿足題意，
設圓上任意一點P（x，y），則（y-4）²=4-x²
∴$\frac{{|PM{|^2}}}{{|PN{|^2}}}=\frac{{{{（x+3）}^2}+{{（y-4）}^2}}}{{{{（x+\frac{4}{3}）}^2}+{{（y-4）}^2}}}=\frac{{{x^2}+6x+9+4-{x^2}}}{{{x^2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}+4-{x^2}}}$=$\frac{6x+13}{{\frac{8}{3}x+\frac{52}{9}}}=\frac{6x+13}{{\frac{4}{9}（6x+13）}}$=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{3}{2}$
綜上可知，在直線MC上存在定點$N（-\frac{4}{3}，4）$，使得$\frac{|PM|}{|PN|}$為常數$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查直線與圓的方程的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．