Question

10．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0），B（1，2），直線l與AB平行．
（1）求直線l的斜率；
（2）已知圓C：x²+y²-4x=0與直線l相交于M，N兩點，且MN=AB，求直線l的方程；
（3）在（2）的圓C上是否存在點P，使得PA²+PB²=12？若存在，求點P的個數；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點A（-1，0），B（1，2），直線l與AB平行，利用斜率公式和直線與直線平行的性質能求出直線l的斜率．
（2）圓C的標準方程為：（x-2）²+y²=4，圓心C（2，0），半徑為2，設直線l的方程為x-y-m=0，求出圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$，由MN=AB=2$\sqrt{2}$，求出m=0或m=-4，由此能求出直線l的方程．
（3）假設圓C上存在點P，設P（x，y），則（x-2）²+y²=4，由PA²+PB²=（x+1）²+（y-0）²+（x-1）²+（y-2）²=12，得到x²+（y-1）²=4，從而求出圓（x-2）²+y²=4與圓x²+（y-1）²=4相交，由此能求出點P的個數．

解答 解：（1）∵點A（-1，0），B（1，2），直線l與AB平行，
∴直線l的斜率k=k_AB=$\frac{2-0}{1-（-1）}$=1．
（2）∵圓C：x²+y²-4x=0，∴圓C的標準方程為：（x-2）²+y²=4，圓心C（2，0），半徑為2，
由（1）知直線l的斜率k=1，
設直線l的方程為x-y-m=0，
則圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2-0+m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$，
∵MN=AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
而CM²=$p9vv5xb5^{2}+（\frac{MN}{2}）^{2}$，∴4=$\frac{（2+m）^{2}}{2}$+2，
解得m=0或m=-4，
故直線l的方程為x-y=0或x-y+4=0．
（3）假設圓C上存在點P，設P（x，y），則（x-2）²+y²=4，
PA²+PB²=（x+1）²+（y-0）²+（x-1）²+（y-2）²=12，
整理，得x²+y²-2y-3=0，即x²+（y-1）²=4，
∵|2-2|＜$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-1）^{2}}$＜2+2，
∴圓（x-2）²+y²=4與圓x²+（y-1）²=4相交，
∴點P的個數為2．

點評 本題考查直線的斜率、直線方程、滿足條件的點的個數的求法，涉及到斜率、直線、圓、直線與直線平行、點到直線距離公式、圓與圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．